Các tính chất toán học của entropy là gì và tại sao nó không âm?

/ / Xuất bản năm An ninh mạng, Các nguyên tắc cơ bản về mật mã lượng tử EITC/IS/QCF, Xáo trộn, Entropy cổ điển, ôn thi

Entropy là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết thông tin và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm an ninh mạng và mật mã lượng tử. Trong bối cảnh của entropy cổ điển, các tính chất toán học của entropy được định nghĩa rõ ràng và cung cấp những hiểu biết có giá trị về bản chất của thông tin và sự không chắc chắn của nó. Trong câu trả lời này, chúng ta sẽ khám phá các tính chất toán học này và giải thích tại sao entropy không âm.

Đầu tiên, chúng ta hãy định nghĩa entropy. Trong lý thuyết thông tin, entropy đo lượng thông tin trung bình chứa trong một biến ngẫu nhiên. Nó định lượng độ không chắc chắn liên quan đến các kết quả có thể xảy ra của biến ngẫu nhiên. Về mặt toán học, đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm khối lượng xác suất P(X), entropy H(X) được cho bởi:

H(X) = -∑ P(x) log₂ P(x)

trong đó tổng được lấy trên tất cả các giá trị x có thể có của X. Logarit thường được lấy về cơ số 2, dẫn đến entropy được đo bằng bit.

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét các tính chất toán học của entropy. Tính chất đầu tiên là entropy luôn không âm. Điều này có nghĩa là entropy của một biến ngẫu nhiên hoặc một hệ thống không thể âm. Để hiểu tại sao entropy không âm, chúng ta cần xem xét các tính chất của hàm logarit.

Hàm logarit chỉ được xác định cho các giá trị dương. Trong công thức entropy, hàm khối lượng xác suất P(x) biểu thị xác suất xuất hiện của mỗi giá trị x. Vì xác suất không âm (tức là P(x) ≥ 0), logarit của xác suất không âm sẽ được xác định. Hơn nữa, logarit của 1 bằng 0. Do đó, mỗi số hạng trong tổng của công thức entropy sẽ không âm hoặc bằng XNUMX. Kết quả là tổng các số hạng không âm cũng sẽ không âm, đảm bảo rằng entropy không âm.

Để minh họa tính chất này, hãy xem xét việc tung đồng xu công bằng. Biến ngẫu nhiên X đại diện cho kết quả của việc tung đồng xu, trong đó X = 0 đối với mặt ngửa và X = 1 đối với mặt sấp. Hàm khối lượng xác suất P(X) được cho bởi P(0) = 0.5 và P(1) = 0.5. Thay các giá trị này vào công thức entropy, chúng ta có:

H(X) = -(0.5 log₂ 0.5 + 0.5 log₂ 0.5) = -(-0.5 – 0.5) = 1

Entropy của việc tung đồng xu công bằng là 1 bit, biểu thị rằng có một chút không chắc chắn liên quan đến kết quả của việc tung đồng xu.

Ngoài việc không âm, entropy còn có những tính chất quan trọng khác. Một đặc tính như vậy là entropy được tối đa hóa khi tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau. Nói cách khác, nếu hàm khối lượng xác suất P(x) sao cho P(x) = 1/N với tất cả các giá trị x có thể có, trong đó N là số kết quả có thể xảy ra, thì entropy được tối đa hóa. Đặc tính này phù hợp với trực giác của chúng ta rằng sự không chắc chắn tối đa tồn tại khi tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau.

Hơn nữa, entropy có tác dụng cộng cho các biến ngẫu nhiên độc lập. Nếu chúng ta có hai biến ngẫu nhiên độc lập X và Y thì entropy của phân bố chung của chúng là tổng các entropy riêng lẻ của chúng. Về mặt toán học, tính chất này có thể được biểu diễn dưới dạng:

H(X, Y) = H(X) + H(Y)

Thuộc tính này đặc biệt hữu ích khi phân tích entropy của các hệ thống tổng hợp hoặc khi xử lý nhiều nguồn thông tin.

Các tính chất toán học của entropy trong lý thuyết thông tin cổ điển đã được xác định rõ ràng. Entropy không âm, tối đa hóa khi tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau và có tính cộng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập. Những đặc tính này cung cấp nền tảng vững chắc để hiểu bản chất của thông tin và tính không chắc chắn của nó.

Các câu hỏi và câu trả lời gần đây khác liên quan đến Entropy cổ điển:

Thêm câu hỏi và câu trả lời:

Gắn thẻ theo: , , , , ,